Notes sur le paradoxe de Newcomb (Nozick 1969)

Formulation du problème : 

2 boîtes : 
- B2 une boîte opaque avec 1 000 000 euros ou rien et 
- B1 une boîte avec 1000 euros

2 choix possibles : 
- a1 : le contenu de la boîte opaque (one-boxer)
- a2 : le contenu des deux boîtes (two-boxer)

Un prédicteur omniscient place 1 000 000 euros dans la boîte B2 s’il prédit que l’agent choisit a1, et rien s’il prédit qu’il choisit a2. 

Matrice de décision (Gärdenfors & Sahlin, 1988) :

	S1 : le prédicteur place 1 000 000 euros dans B2	S2 : le prédicteur ne place rien dans B2	
a1 	o11 = 1 000 000 euros	o12 = 0 euro	
a2 	o21 = 1 001 000 euros	o22 = 1000 euros	

Nozick (1969) présente le choix comme un conflit entre principe de maximisation de l’espérance d’utilité conditionnelle et principe de dominance. 

Espérance d’utilité conditionnelle : 

CondEU(ai) = P(s1 / ai) . u(oi1) + P(s2 / ai) . u(oi2)

Si l’on suppose que le prédicteur est très fiable, c’est-à-dire que P(s1/a1) et P(s2/a2) sont élevées, alors le principe de maximisation de l’espérance conditionnelle d’utilité justifie le choix a1. 

Dominance forte : 
ai domine aj si pour tout état du monde sk, u(oik) > u(ojk). 

Le principe de dominance forte justifie le choix a2. 

Voir Jeffrey 1983, pp. 8 et sq : la dominance n’est un critère fiable que s’il y a indépendance entre les actes et les états de la nature. Mais d’après l’énoncé du problème, il y a indépendance causale. 

Espérance d’utilité contrefactuelle : 

ContEU(ai) = P( ai  oi1) . u(oi1) + P(ai  oi2) . u(oi2)

où P( ai  oik) est la probabilité que « si l’agent choisissait l’option ai, alors cela aurait pour conséquence oik ». Il est clair que ContEu diffère de CondEU ssi P( ai  oik)  P(sk / ai), ie si la probabilité des contrefactuels diffère de la probabilité conditionnelle ; c’est le cas si ai est indépendant causalement de sk. 
Dans le problème de Newcomb, il y a indépendance causale entre action et « état de la nature » (action du prédicteur) ; donc P( ai  oik) = P(sk). Posons P(s1) = p ; P(s2) = 1 – p. D’où les utilités : 
ContEU(a1) = 1 000 000 p 
ContEU(a2) = 1 001 000p + 1 000(1 – p) = 1 000 000p + 1000

Gibbard & Harper : CondEU(a1)  mesure le contentement que provoque la nouvelle que l’action ai est choisie ; ce peut être parce qu’un acte cause certaines conséquences, ou bien parce qu’un acte est un signe de l’état du monde. Par exemple, choisir les deux boîtes est le signe (mais pas la cause) que le prédicteur ne placera rien dans la boîte opaque. ContEU(ai) mesure l’efficacité espérée d’un acte à produire les conséquences que l’agent désire. 

Renforcements du principe de dominance forte : 
Supposons que ai domine fortement aj ; alors
-	ai domine fortement aj avec indépendance causale si pour tout état sk, (ai sk) =  (aj sk) = sk
-	ai domine fortement aj avec indépendance évidentielle si pour tout état sk, P(sk/ai) = P(sk/aj) = P(sk)

Références : 

P. Gärdenfors & N-E. Sahlin (eds) (1988), Decision, Probability and Utility, CUP

A. Gibbard et Harper (1978),  “Counterfactuals and two kinds of expected value”, dans Foundations and Applications of Decision Theory, C.A.Hooker & ali.(eds), Reidel, 125-162

D. Lewis (1981), “Causal Decision Theory”, Australiasan Journal of Philosophy, pp. 5-30

R. Nozick (1969), “Newcomb’s problem and two principles of choice”, dans Essays in Honor of Carl G. Hempel, N. Rescher (ed.), Reidel, pp. 107-133