Mikaël Cozic – PH213B – TD1

Bibliographie provisoire (10/II/04)

1) Références générales 

 Références introductives ou classiques :
 
[BKL 2000] A. Barberousse et ali.,  La philosophie des sciences au XXe siècle, Champs Université, A. Colin
[Carnap 1966] R. Carnap, Les fondements philosophiques de la physique (trad.fr) A. Colin, 1973
[EI 1938] A. Einstein et L. Infeld, L’évolution des idées en physique (trad.fr), Champs-Flammarion, 1983
[Feynman 1963] R. Feynman, Leçons sur la physique (trad.fr), O.Jacob, 2000 [Morceaux choisis des célèbres Cours de physique de Feynman, Dunod, 1979 ]

Références de niveau avancé ou en langue étrangère : 

[Cushing 1998] J.T. Cushing, Philosophical Concepts in Physics, Cambridge UP, 1998
[Nagel 1979] E. Nagel, The Structure of Science, Hackett, 1979 (2nd ed.)

2) Partie I : espace géométrique et espace physique

Références introductives ou classiques :

[Carnap 1966], chap. 13-18
[Kant C1] E. Kant, Critique de la raison pure (trad.fr), Folio, 1980
[Kant PMF] E. Kant, Prolégomènes  à toute métaphysique future (trad.fr) Vrin, 1993
[Newton 1686] I.Newton, Principes mathématiques de la philosophie naturelle (trad.fr. sur la base de la 3ème éd.,1726), J.Gabay, 1990 
[Poincaré 1902] H. Poincaré, La science et l’hypothèse, Champs-Flammarion, 1963, chap.III-V
[Poincaré 1905] H.Poincaré, La valeur de la science, Champs-Flammarion, 1970, chap.III
[Einstein 1921] A. Einstein, « La géométrie et l’expérience » (trad.fr), Œuvres Choisies, V, Seuil-CNRS 1991

Références de niveau avancé ou en langue étrangère : 

[Nagel 1979], Chap. 9
[Reichenbach 1956] H. Reichenbach, The Philosophy of Space and Time, Dover 1956
[Sklar 1974] L. Sklar, Space, Time and Spacetime, University of Califonia Press, 1974, chap. II

3) Partie II : déterminisme et probabilités 

Références introductives ou classiques :

[BKL 2000], chap. 3
[Carnap 1966], chap. 19-22 et 29-30
[Zwirn 2000] H. Zwirn, Les limites de la connaissance, O.Jacob, 2000, chap.3-4

Références de niveau avancé ou en langue étrangère : 

[Cushing 1998], chap.12
[Earman 1986] J.Earman, A primer on Determinism, Reidel, 1986
[Gillies 2000], Philosophical theories of probability, Routledge, 2000
[Nagel 1979], chap.10

	

Mikaël Cozic – PH213B – TD1 – Partie I – Cours 1 : les géométries non-euclidiennes

Définitions

1. Un point est ce dont il n’y a aucune partie
2. Une ligne est une longueur sans largeur
3. Les limites d’une ligne sont des points
4. Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elle

(…)

23. Des droites parallèles sont celles qui étant dans le même plan et indéfiniment prolongées de part et d’autre,  ne se rencontrent pas, ni d’un côté, ni de l’autre

Demandes

1. Qu’il soit demandé de mener une ligne droite de tout point à tout point
2. Et de prolonger continûment en ligne droite une ligne droite limitée.
3. Et de décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout intervalle.
4. Et que tous les angles droits soient égaux entre eux.
5. Et que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits.

Notions communes

1. Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.
2. Et si, à des choses égales, des choses égales sont ajoutées, les touts sont égaux.
3. Et si, à partir de choses égales, des choses égales sont retranchées, les restes sont égaux.
4. Et si, à des choses inégales, des choses égales sont ajoutées, les touts sont inégaux.
5. Et les doubles du même sont égaux entre eux.
6. Et les moitiés du même sont égales entre elles.
7. Et les choses qui s’ajustent les unes sur les autres sont égales entre elles.
8. Et le tout est plus grand que la partie.
9. Et deux droites ne contiennent pas une aire.

Proposition 32

Dans tout triangle, un des côtés étant prolongé, l’angle extérieur est égal aux deux angles intérieurs et opposés, et les trois angles intérieurs du triangle sont égaux à deux droits.

Soit le triangle ABC, et qu’un de ses côtés, BC, soit prolongé au-delà jusqu’en D. Je dis que l’angle extérieur, celui sous ACD, est égal aux deux angles intérieurs et opposés, ceux sous CAB, ABC, et que les trois angles intérieurs du triangle, ceux sous ABC, BCA, CAB sont égaux à deux droits.

En effet, que par le point C, soit menée CE parallèle à la droite AB (Prop. 31).

Puisque AB est parallèle à CE et que AC tombe sur elles, les angles alternes, ceux sous BAC, ACE sont égaux entre eux. Ensuite, puisque AB est parallèle à CE et que la droite BD tombe sur elles, l’angle extérieur, celui sous ECD, est égale à celui sous ABC, intérieur et opposé (Prop.29). Et il a été aussi démontré que celui sous ACE est égal à celui sous BAC. L’angle tout entier sous ACD est donc égal aux deux angles intérieurs et opposés, ceux sous BAC, ABC (N.C.2).

Que soit ajouté de part et d’autre celui sous ACB. Ceux sous ACD, ACB sont donc égaux aux trois sus ABC, BCA, CAB. Mais ceux sous ACD, ACB sont égaux à deux droits (Prop.13) ; donc ceux sous ABC, BCA, CAB sont aussi égaux à deux droits (N.C.1).

Donc, dans tout triangle, un des côtés étant prolongé, l’angle extérieur est égal aux deux angles intérieurs et opposés, et les trois angles intérieurs du triangle sont égaux à deux droits. Ce qu’il fallait démontrer.

Euclide d’Alexandrie, Les Eléments, Livre I, trad. B.Vitrac, PUF, Bibliothèque d’histoire des sciences, 1990

Mikaël Cozic – PH213B – TD1 – Partie I – Cours 2 

L’apriorisme de Kant

•	 les deux distinctions : a priori / a posteriori et synthétique / analytique

1.  « Nous entendrons donc en ce qui suit par connaissances a priori, non celles qui ont lieu indépendamment de telle ou telle expérience, mais celles qui sont absolument indépendantes de toute expérience. Leur sont opposées les connaissances empiriques, ou celles qui ne sont possibles qu’a posteriori, c’est-à-dire par expérience. » (C1, III 28, B 2-3)

2.  « Dans tous les jugements, où est pensé le rapport d'un sujet au prédicat (si je considère seulement les jugements affirmatifs, car l’application aux jugements négatifs est ensuite facile), ce rapport est possible de deux façons. Ou bien le prédicat B appartient au sujet A comme quelque chose qui est contenu (de manière cachée) dans ce concept; ou bien B est entièrement hors du concept A, quoique en connexion avec lui. Dans le premier cas, je nomme le jugement analytique, dans l'autre synthétique. Des jugements analytiques (affirmatifs) sont donc ceux dans lesquels la connexion du prédicat avec le sujet est pensée par identité, tandis que ceux dans lesquels cette connexion est pensée sans identité doivent s’appeler justement synthétiques. On pourrait encore appeler les premiers jugements explicatifs, les seconds jugements extensifs, car ceux-là n’ajoutent rien, par le prédicat, au concept du sujet, mais le décomposent seulement par analyse en ses concepts partiels, qui étaient déjà pensés (quoique confusément) en lui : tandis qu’au contraire les seconds ajoutent au concept du sujet un prédicat qui n’était pas du tout pensé dans le sujet, et qu’aucune analyse de celui-ci n’aurait pu en tirer. » (C1, III 33-4, A 6-7, B 10-11)

•	statut des propositions géométriques

3.  « Un principe quelconque de la géométrie n’est pas davantage analytique. Que la ligne droite soit entre deux points la plus courte, c’est une proposition synthétique. Car mon concept de droit ne contient rien qui se rapporte à la quantité, mais seulement une qualité. Le concept de plus court vient donc entièrement s’ajouter, et ne peut être tiré par aucune analyse du concept de la ligne droite. Il faut donc s’aider de l’intuition, au moyen de laquelle seulement la synthèse est possible. » (C1, III 38, B 16)

4.  « Puisque les propositions de la géométrie sont connues synthétiquement a priori et avec une certitude apodictique, je demande où vous prenez ces propositions et sur quoi s’appuie votre entendement pour parvenir à de telles vérités absolument nécessaires et universellement valables. Il n’y a pas d’autre voie que par des concepts ou par des intuitions, qui soient donnés l’un ou l’autre a priori ou a posteriori. Ces derniers, les concepts empiriques et l’intuition empirique sur laquelle ils se fondent, ne peuvent jamais par suite contenir la nécessité et l’universalité absolue, alors que telle est la caractéristique de toutes les propositions de la géométrie. Mais, pour ce qui constituerait le premier et unique moyen, c’est-à-dire parvenir à de telles connaissances par de simples concepts ou par des intuitions a priori, il est clair qu’à partir de simples concepts on ne peut pas obtenir une connaissance synthétique, mais seulement analytique.  Prenez seulement cette proposition : Deux lignes droites ne peuvent renfermer un espace, ni, par conséquent, former de figure, et cherchez à la dériver du concept des lignes droites et de celui du nombre deux. Prenez encore cette autre proposition, qu’avec trois lignes droites on peut former une figure, et essayez de même de la tirer simplement de ces concepts. Toute votre peine est vaine, et vous vous voyez forcés de recourir à l’intuition ; comme le fait toujours la géométrie » (C1, III 68, A 47-8, B 64-5)

•	comment les propositions géométriques sont possibles ? 

5.  « S’il fallait que notre intuition fût de nature à nous représenter les choses telles qu’elles sont en elles-mêmes, alors aucune intuition n’aurait lieu a priori ; l’intuition serait toujours empirique. (…) Donc la seule manière qui permette à mon intuition de précéder la réalité de l’objet et d’avoir lieu comme connaissance a priori, c’est qu’elle ne contienne rien d’autre que la forme de la sensibilité, forme qui, dans ma subjectivité, précède toutes les impressions réelles grâce auxquelles je suis affecté par des objets.car, que les objets des sens ne puissent être intuitionnés que selon la forme de la sensibilité, je puis le savoir a priori. » (PMF, § 9, 282)
6. « On admettait jusqu’ici que toute notre connaissance devait se régler sur les objets ; mais tous les essais pour établir à leur endroit quelque chose a priori par des concepts, par quoi notre connaissance eût été étendue, n’aboutissait, dans cette hypothèse, à rien. Que l’on essaie donc une fois de voir si nous ne serions pas plus heureux dans les tâches de la métaphysique, en admettant que les objets doivent se régler sur notre connaissance, ce qui s’accorde déjà mieux avec la possibilité demandée d’une connaissance a priori de ces objets, qui doit établir quelque chose à leur égard avant qu’ils nous soient donnés. Il en est ici comme de l’idée première de Copernic : voyant qu’il ne pouvait venir à bout  de l’explication des mouvements du ciel en admettant que toute l’armée des astres tournait autour du spectateur, il essaya de voir s’il ne réussirait pas mieux en faisant tourner le spectateur, et en laissant en revanche les astres en repos. On peut faire un essai du même genre en métaphysique, au sujet de l’intuition des objets. Si l’intuition des objets devait se régler sur la nature des objets, je ne vois pas comment on en pourrait savoir quelque chose a priori ; que si, au contraire, l’objet (comme objet des sens) se règle sur la nature de notre faculté d’intuition, je puis très bien alors me représenter cette possibilité. » (C1, III 11-12, B XVI-XVII)

7. « La sensibilité, dont la forme fonde la géométrie, est ce sur quoi repose la possibilité des phénomènes externes ; donc ces phénomènes ne contiennent jamais rien d’autre que ce que la géométrie leur prescrit. Il en irait tout autrement s’il fallait que les sens représentent les objets tels qu’ils sont en soi. Car en ce cas, de la représentation de l’espace que le géomètre prend pour fondement avec les propriétés de toutes sortes qu’il comporte, il ne s’ensuivrait pas encore que tout cela, y compris les conséquences qu’on en tire, devrait se trouver exactement tel quel dans la nature. On tiendrait l’espace du géomètre pour une pure fiction et on ne lui accorderait aucune valeur objective, puisqu’on ne voit pas du tout comment les choses devraient s’accorder nécessairement avec l’image que nous nous chargeons nous-mêmes d’en former à l’avance. Mais si cette image ou plutôt cette intuition formelle est la propriété essentielle de notre sensibilité, moyen indispensable pour que des objets nous soient donnés, si d’autre part cette sensibilité ne représente pas les choses en elles-mêmes, mais uniquement leurs phénomènes, du coup il est très facile de concevoir et en même temps de prouver irréfutablement qu’il faut que tous les objets extérieurs de notre monde sensible s’accordent nécessairement en toute exactitude avec les propositions de la géométrie, puisque c’est la sensibilité elle-même qui rend les primordialement possibles ces objets comme simples phénomènes grâce à sa forme d’intuition externe (l’espace) dont s’occupe le géomètre. » (PMF, Rem.I, 288)
Mikaël Cozic – PH213B – TD1 – Partie I – Cours 3

1. H.Poincaré, La valeur de la science (1902)

« On ne peut donc se soustraire à cette conclusion que la règle du raisonnement par récurrence est irréductible au principe de contradiction. 
Cette règle ne peut non plus nous venir de l’expérience ; ce que l’expérience pourrait nous apprendre, c’est que la règle est vraie pour les dix, pour les cent premiers nombres par exemple, elle ne peut atteindre la suite indéfinie des nombres, mais seulement une portion plus ou moins longue mais toujours limitée de cette suite. 
(…) Cette règle, inaccessible à la démonstration analytique et à l’expérience, est le véritable type du jugement synthétique a priori. On ne saurait d’autre part songer à y voir une convention, comme pour quelques-uns des postulats de la géométrie. 
Pourquoi donc ce jugement s’impose-t-il à nous avec une irrésistible évidence ? C’est qu’il n’est que l’affirmation de la puissance de l’esprit qui se sait capable de concevoir la répétition indéfinie d’un même acte dès que cet acte est une fois possible. L’esprit a cette puissance d’une intuition directe et l’expérience ne peut être pour lui qu’une occasion de s’en servir et par là d’en prendre conscience. »

(« Sur la nature du raisonnement mathématique », p.41) 

2. H.Poincaré, La valeur de la science (1905)

« Dans les articles que j’ai précédemment consacrés à l’espace, j’ai surtout insisté sur les problèmes soulevés par la géométrie non-euclidienne, en laissant presque complètement de côté d’autres questions plus difficiles à aborder, telles que celles qui se rapportent au nombre des dimensions.
(….)
Dans l’espace nous connaissons des triangles rectilignes dont la somme des angles est égale à deux droites ; mais nous connaissons également des triangles curvilignes dont la somme des angles est plus petite que deux droites. L’existence des uns n’est pas plus douteuse que celle des autres. Donner aux côtés des premiers le nom de droites, c’est adopter la géométrie euclidienne ; donner aux côtés des derniers le nom de droites, c’est adopter la géométrie non-euclidienne. De sorte que, demander quelle géométrie convient-il adopter, c’est demander : à quelle ligne convient-il de donner le nom de droite ? 
Il est évident que l’expérience ne peut résoudre une pareille question ; on ne demanderait pas, par exemple à l’expérience de décider si je dois appeler une droite AB ou bien CD. D’un autre côté, je ne puis dire non plus que je n’ai pas le droit de donner le nom de droites aux côtés des triangles non-euclidiens, parce qu’ils ne sont pas conformes à l’idée éternelle de droite que je possède par l’intuition. Je veux bien que j’aie l’idée intuitive du côté du triangle euclidien, mais j’ai également l’idée intuitive du côté du triangle non-euclidien.  Pourquoi aurai-je le droit d’appliquer le nom de droite à la première de ces idées et pas à la seconde ? En quoi ces deux syllabes feraient-elles partie intégrante de cette idée intuitive ? Evidemment quand nous disons que la droite euclidienne est une vraie droite et que la droite non-euclidienne n’est pas une vraie droite, nous voulons dire tout simplement que la première idée intuitive correspond à un objet plus remarquable que la seconde. Mais comment jugeons-nous que cet objet plus remarquable ? C’est ce que j’ai recherché dans La Science et l’Hypothèse.
C’est là que nous avons vu intervenir l’expérience ; si la droite euclidienne est plus remarquable que la droite non-euclidienne, c’est avant tout parce qu’elle diffère peu de certains objets naturels remarquables dont la droite euclidienne diffère beaucoup.
(…)
Et alors quand nous demandons : peut-on imaginer l’espace non-euclidien ? cela veut dire : pouvons-nous imaginer un monde où il y aurait des objets naturels remarquables affectant à peu près la forme des droites non-euclidiennes, et des corps naturels remarquables subissant fréquemment des mouvements à peu près pareils aux mouvements non-euclidiens ? J’ai montré dans La Science et l’Hypothèse qu’à cette question il faut répondre oui. 
On a souvent observé que si tous les corps de l’Univers venaient à se dilater simultanément et dans la même proportion, nous n’aurions aucun moyen de nous en apercevoir, puisque tous nos instruments de mesure grandiraient en même temps que les objets mêmes qu’ils servent à mesurer. Le monde, après cette dilatation, continuerait son train sans que rien vienne nous avertir d’un événement aussi considérable. » 

(« La notion d’espace », pp.55-58)

3. H. Reichenbach, The Philosophy of Space and Time (1927)

« Tournons-nous maintenant vers l’idée d’a priori visuel ; cette doctrine kantienne fonde la préférence pour la géométrie euclidienne sur l’existence d’une certaine manière avec laquelle nous visualisons l’espace. 
La théorie affirme qu’une propriété innée de l’esprit humain, la capacité de visualisation, exige que nous adhérions à la géométrie euclidienne. De la même façon qu’une certaine évidence nous oblige à croire les lois de l’arithmétique, une évidence visuelle nous oblige à croire en la validité de la géométrie euclidienne. On peut montrer que cette évidence n’est pas fondée sur des raisons logiques. Puisque les mathématiques donnent une preuve que la construction de géométries non-euclidiennes ne conduit pas à des contradictions, aucune évidence logique ne peut être avancée en faveur de la géométrie euclidienne. C’est la raison pour laquelle l’évidence de la géométrie euclidienne a été parfois dérivée, à la manière kantienne, de la capacité humaine de visualisation conçue comme une source de connaissance. 
Tout le monde possède une notion plus ou moins claire de ce que l’on entend par visualisation. Si l’on dessine deux points sur un bout de papier, si on les relie par une ligne droite et par une courbe, nous « voyons » que la ligne droite est plus courte que la ligne courbe. Nous considérons même comme certain que la ligne droite est plus courte que toute autre ligne qui relierait les deux points. Nous disons cela sans être capables de le prouver par des mesures, parce qu’il est impossible pour nous de dessiner et de mesurer toutes les lignes. Le pouvoir d’imagination qui nous oblige à faire cette affirmation est appelé la capacité de visualisation. De la même façon, l’axiome euclidien des parallèles semble être visuellement nécessaire. Il nous reste à examiner cette qualité humaine et sa signification pour le problème de l’espace. 
Cette analyse sera menée en deux étapes. Supposons tout d’abord qu’il est correct d’affirmer qu’une capacité spéciale de visualisation existe, et que la géométrie euclidienne se distingue de toutes les autres géométries par le fait qu’elle peut être facilement visualisée. La question se pose : quelles sont les conséquences d’une telle hypothèse pour l’espace physique ? C’est seulement après avoir répondu à cette première question que l’hypothèse elle-même peut être testée. La seconde étape de notre analyse consistera donc à savoir si une capacité spéciale de visualisation existe (§9-§11)
Tournons-nous maintenant vers la première question, qui doit être reformulée afin de la relier clairement au problème épistémologique. 
Les mathématiques prouvent que toute géométrie riemanienne peut être mise en correspondance avec une autre géométrie riemanienne. Dans le langage de la physique, cela signifie la chose suivante : 
Théorème  : «  Etant donné une géométrie G à laquelle les instruments de mesure se conforment, nous pouvons imaginer une force universelle F qui agit d’une telle façon sur les instruments de mesure que la géométrie actuelle est une géométrie arbitraire G, tandis que les déviations par rapport à G sont dues à une déformation universelle des instruments de mesure. »
Aucune objection épistémologique ne peut être faite contre la correction du théorème . Est-ce que l’a priori visuel est compatible avec lui ? 
Bien sûr, il faut répondre oui. Puisque la géométrie euclidienne appartient aux géométries riemaniennes, il suit du théorème  qu’il est toujours possible de maintenir la géométrie que l’on préfère visuellement pour l’espace physique. Dès lors, nous avons prouvé que l’on peut toujours satisfaire l’exigence de visualisation. 
Mais quelque chose de plus a été prouvé par le théorème , qui ne s’accorde pas très bien avec la théorie de l’a priori visuel. Le théorème affirme qu’il n’y a pas de fondements épistémologiques à la préférence pour la géométrie euclidienne. Le théorème  montre que toutes les géométries sont équivalentes ; il énonce le principe de la relativité de la géométrie. Il s’ensuit qu’il est dépourvu de signification de parler d’une géométrie comme de la vraie géométrie. Nous obtenons un énoncé sur la réalité physique seulement si, en plus de la géométrie G de l’espace, le champ de sa force universelle F est spécifié. Seule la combinaison 
G + F
est un énoncé testable. 

(Chap.I, § 8, « The Relativity of geometry », pp. 32-3)

4. P.Duhem, La théorie physique, son objet, sa structure (1906)

« §II - Qu’une expérience de Physique ne peut jamais condamner une hypothèse isolée, mais seulement tout un ensemble théorique.

Un physicien se propose de démontrer l’inexactitude d’une proposition ; pour déduire de cette proposition la prévision d’un phénomène, pour instituer l’expérience qui doit montrer si ce phénomène se produit ou ne se produit pas, pour interpréter les résultats de cette expérience et constater que le phénomène prévu ne s’est pas produit, il ne se borne pas à faire usage de la proposition en litige ; il emploie encore tout un ensemble de théories, admises par lui sans conteste ; la prévision du phénomène dont la production doit trancher le débat ne découle pas de la proposition litigieuse prise isolément, mais de la proposition litigieuse jointe à tout cet ensemble de théories ; si le phénomène prévu ne se produit pas, ce n’est pas la proposition litigieuse seule qui est mise en défaut, c’est tout l’échafaudage théorique dont le physicien a fait usage ; la seule chose que nous apprenne l’expérience, c’est que, parmi toutes les propositions qui ont servi à prévoir ce phénomène et à constater qu’il ne se produisait pas, il y a au moins une erreur ; mais où gît cette erreur, c’est ce qu’elle ne nous dit pas. Le physicien déclare-t-il que cette erreur est précisément contenue dans la proposition qu’il voulait réfuter et non pas ailleurs ? C’est qu’il admet implicitement l’exactitude de toutes les autres propositions dont il a fait usage ; tant vaut cette confiance, tant vaut sa conclusion. 
(…)
On sait que Newton a imaginé une théorie des phénomènes optiques, la théorie de l’émission. La théorie de l’émission suppose la lumière formée de projectiles excessivement ténus, lançés avec une extrême vitesse par le Soleil et les autres sources lumineuses ; ces projectiles pénètrent tous les corps transparents ; de la part des diverses portions des milieux au sein desquels ils se meuvent, ils subissent des actions attractives ou répulsives : très puissantes lorsque la distance qui sépare les particules agissantes est toute petite, ces actions s’évanouissent lorsque les masses entre lesquelles elles s’exercent s’écartent sensiblement. Ces hypothèses essentielles, jointes à plusieurs autres que nous passons sous silence, conduisent à formuler une théorie complète de la réflexion et de la réfraction de la lumière ; en particulier, elles entraînent cette conséquence : L’indice de réfraction de la lumière passant d’un milieu dans un autre est égal à la vitesse du projectile lumineux au sein du milieu où il pénètre, divisée par la vitesse du même projectile au sein du milieu qu’il abandonne. 
C’est cette conséquence qu’Arago a choisie pour mettre la théorie de l’émission en contradiction avec les faits ; de cette proposition, en effet, découle cette autre : la lumière marche plus vite dans l’eau que dans l’air ; or, Arago avait indiqué un procédé propre à comparer la vitesse de la lumière dans l’air à la vitesse de la lumière dans l’eau ; le procédé, il est vrai, était inapplicable, mais Foucault modifia l’expérience de telle manière qu’elle pût être exécutée, et il l’exécuta ; il trouva que la lumière se propageait moins vite dans l’eau que dans l’air ; on en peut conclure, avec Foucault, que le système de l’émission est incompatible avec les faits . 
Je dis le système de l’émission et non l’hypothèse de l’émission ; en effet, ce que l’expérience déclare entaché d’erreur, c’est tout l’ensemble des propositions admises par Newton, et, après lui, par Laplace et par Biot ; c’est la théorie tout entière dont se déduit la relation entre indice de réfraction et la vitesse de la lumière dans les divers milieux ; mais en condamnant en bloc ce système, en déclarant qu’il est entaché d’erreur, l’expérience ne nous dit pas où gît cette erreur ; est-ce dans l’hypothèse fondamentale que la lumière consiste en projectiles lancés avec une grande vitesse par les corps lumineux ? Est-ce en quelque autre supposition touchant les actions que les corpuscules lumineux subissent de la part des milieux au sein desquels ils se meuvent ? Nous n’en savons rien. Il serait téméraire de croire, comme Arago semble l’avoir pensé, que l’expérience de Foucault condamne sans retour l’hypothèse même de l’émission, l’assimilation d’un rayon de lumière à une rafale de projectiles : si les physiciens eussent attaché quelque prix  à ce labeur, ils fussent sans doute parvenus à fonder sur cette supposition un système optique qui s’accordât avec l’expérience de Foucault.
En résumé, le physicien ne peut jamais soumettre au contrôle de l’expérience une hypothèse isolée, mais seulement tout un ensemble d’hypothèses ; lorsque l’expérience est en désaccord avec ses prévisions, elle lui apprend que l’une au moins des hypothèses qui constituent cet ensemble est inacceptable et doit être modifié ; mais elle ne lui désigne pas celle qui doit être changée.» 

(2nde Partie, Chap.VI, « La théorie physique et l’expérience », pp. 280-1, 284)

Mikaël Cozic – PH213B – TD1 – Partie I – Cours 4 : l’espace et la théorie de la relativité

Références complémentaires : 

F. Balibar, Galilée, Newton lus par Einstein, Puf, 1984
M. Blay, La science du mouvement, Belin Sup, 2002
B. Hoffmann, La relativité, histoire d’une grande idée, Belin - Pour la Science, 1999

Extraits : 

1. Galilée, Dialogue sur les deux plus grands Systèmes du Monde, 1632 (trad. F.Balibar & J.B.Para)

« SALV : Enfermez-vous avec un ami dans la plus vaste cabine d’un grand navire, et faites en sorte que s’y trouvent également des mouches, des papillons et d’autres petits animaux volants, qu’y soit disposé un grand récipient empli d’eau dans lequel on aura mis des petits poissons ; suspendez également à bonne hauteur un petit seau et disposez-le de manière à ce que l’eau se déverse goutte à goutte dans un autre récipient à col étroit que vous aurez disposé en dessous ; puis, alors que le navire est à l’arrêt, observez attentivement comment ces petits animaux volent avec des vitesses égales quel que soit l’endroit de la cabine vers lequel ils se dirigent ; vous pourrez voir les poissons nager indifféremment dans toutes les directions ; les gouttes d’eau tomberont toutes dans le récipient posé par terre ; si vous lancez quelque objet à votre ami, vous ne devrez pas fournir un effort plus important selon que vous le lancerez dans telle ou telle direction, à condition que les distances soient égales ; et si vous sautez à pieds joints, comme on dit, vous franchirez des espaces semblables dans toutes les directions. 
Une fois que vous aurez observé attentivement tout cela – il ne fait aucun doute que si le navire est à l’arrêt les choses doivent se passer ainsi – faites se déplacer le navire à une vitesse aussi grande que vous voudrez ; pourvu que le mouvement soit uniforme et ne fluctue pas de-ci de-là, vous n’apercevrez aucun changement dans les effets nommés, et aucun d’entre eux ne vous permettra de savoir si le navire avance ou bien s’il est arrêté : si vous sautez, vous franchirez sur le plancher les mêmes distances qu’auparavant et, si le navire se déplace, vous n’en ferez pas pour autant des sauts plus grands vers la poupe que vers la proue, bien que, pendant que vous êtes en l’air, le plancher qui est en dessous ait glissé dans la direction opposée à celle de votre saut ; si vous jetez quelque objet à votre ami, il ne vous faudra pas le lancer avec plus de force pour qu’il lui parvienne, que votre ami se trouve vers la proue et vous vers la poupe, ou que ce soit le contraire ; les gouttes d’eau tomberont comme auparavant dans le récipient qu’on aura mis en dessous, sans qu’une seule goutte ne tombe du côté de la poupe, bien que, pendant le temps où la goutte est en l’air, le navire ait parcouru plus d’un empan ; les poissons dans leur eau nageront sans plus d’effort vers l’une ou l’autre partie du récipient dans lequel on les aura mis et ils se dirigeront avec autant d’aisance vers la nourriture quel que soit l’endroit du bord du bocal où elle aura été placée ; enfin, les papillons et les mouches continueront à voler indifféremment dans toutes les directions. Et on ne les verra jamais s’accumuler du côté de la cloison qui fait face à la poupe ; ce qui ne manquerait pas d’arriver s’ils devaient s’épuiser à suivre dans le navire dans sa course rapide. »

2. I.Newton, Principes mathématiques de la philosophie naturelle, 1687 (trad. Marquise du Chastellet, pp. 17-18, 26)

« PREMIERE LOI

Tout corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n’agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d’état. 
(…)

II. LOI

Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice, et se font dans la ligne droite dans laquelle cette force a été imprimée.
(…)

III. LOI

L’action est toujours égale et opposée à la réaction ; c’est-à-dire que, que les actions de deux corps l’un sur l’autre sont toujours égales, et dans des directions contraires. 
(…)

COROLLAIRE V.

Les mouvements des corps  inclus dans un espace donné sont les mêmes, entre eux, que cet espace soit au repos, ou qu’il se meuve uniformément en ligne droite sans mouvement circulaire.»

3. Einstein & Infeld, L’évolution des idées en physique, pp. 165-6

« 1.La vitesse de la lumière dans l’espace vide est toujours la même, elle est indépendante du mouvement de la source ou du récepteur de la lumière.
2. Dans deux [systèmes de coordonnées] animés d’un mouvement uniforme l’un par rapport à l’autre, toutes les lois de la nature sont rigoureusement identiques, et il n’y a aucun moyen de distinguer un mouvement uniforme absolu. 
Il existe beaucoup d’expériences qui confirment ces deux énoncés, mais il n’y en a pas une seule qui contredise l’un ou l’autre. Le premier énoncé exprime la constance de la vitesse de la lumière, le second étend le principe de relativité galiléen, formulé pour les phénomènes mécaniques, à tous les événements de la nature. »

4. Carnap, Les fondements philosophiques de la physique, p. 163

« Comme on l’a expliqué plus haut, un géodésique est la ligne « la plus directe possible qui soit concevable dans un système spatial donné. Il n’est pas nécessaire que ce système spatial possède une courbure constante. Par exemple, sur la surface de la Terre, malgré les formes irrégulières de ses montagnes et de ses vallées, il est toujours possible de trouver un ou plusieurs géodésiques qui représentent le chemin le plus court entre deux points quelconques. Les géodésiques sont l’équivalent de ce qu’est sur un plan euclidien une ligne droite. 
Dans la théorie de la relativité, les lignes d’univers des planètes et des rayons lumineux sont des géodésiques. De même que, dans la physique classique, on dit qu’un corps sur lequel n’agit aucune force extérieure se déplace à cause de son inertie en ligne droite et à vitesse constante, et donc suivant une ligne d’univers rectiligne, de même dans la physique relativiste on dit que ce corps se déplace (même à l’intérieur d’un champ gravitationnel) suivant des lignes d’univers qui sont des géodésiques. Il n’est pas nécessaire de faire entrer ici en ligne de compte le concept de « force ».  Pourquoi une planète tourne-t-elle autour du soleil au lieu de prendre la tangente ? Ce n’est pas parce que le soleil exerce une « force » qui « attire » la planète vers lui, mais parce que la masse du soleil imprime une courbure négative à la structure non-euclidienne de l’espace-temps. 
D’un point de vue non-euclidien, dans la théorie de la relativité, il n’existe pas de force gravitationnelle au sens où l’on parle de forces mécaniques, ou électromagnétiques. La gravitation en tant que force disparaît de la physique, pour laisser place à la structure géométrique d’un système spatio-temporel à quatre dimensions. »

5. Einstein & Infeld, L’évolution des idées en physique, p. 224

« Notre monde n’est pas euclidien. La nature géométrique de notre monde est façonnée par les masses et leurs vitesses. Les équations de la gravitation et de la théorie de la relativité générale essaient de mettre en lumière les propriétés géométriques de notre monde. »

Mikaël Cozic – PH213B – TD1 – Partiel (27/IV/04)

Exercice 1 (5/20)

1 Quel est le contenu du cinquième postulat d’Euclide ? 
2 Qu’est-ce qu’une preuve de cohérence relative ? 
3 Quelles sont les trois lois fondamentales de la mécanique newtonienne ? 
4 Qu’est-ce que le principe de relativité galiléen ? 
5 En quoi l’espace de la théorie de la relativité générale n’est pas euclidien ? 

Exercice 2 (15/20)

Commentez, en vous en tenant au cas de la géométrie, l’affirmation suivante d’A.Einstein : « pour autant que les propositions mathématiques se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et pour autant qu’elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité. » (« La géométrie et l’expérience », 1927, in Œuvres choisies, t.V, p.71)

Mikaël Cozic – PH213B – TD1 – Eléments de correction du partiel

•	A.Einstein, « La géométrie et l’expérience », 1921, in Œuvres choisies, t.V, p.70-2

« Parmi toutes les sciences, les mathématiques jouissent d'un prestige particulier qui tient à une raison unique : leurs propositions ont un caractère de certitude absolue et incontestable, alors que celles de toutes les autres sciences sont discutables jusqu'à un certain point et risquent toujours d'être réfutées par la découverte de faits nouveaux. Le chercheur d'une autre discipline n'aurait pas lieu pour autant d'envier le mathématicien si les propositions de ce dernier ne portaient que sur de purs produits de notre imagination et non sur des objets réels. Il n'est pas étonnant en effet que l'on parvienne à des conclusions logiques concordantes, une fois que l'on s'est mis d'accord sur les propositions fondamentales (axiomes) ainsi que sur les méthodes à suivre pour déduire de ces propositions fondamentales d'autres propositions ; mais le prestige des mathématiques tient, par ailleurs, au fait que ce sont également elle qui confèrent aux sciences exactes de la nature un certain degré de certitude, que celles-ci ne pourraient atteindre autrement.
Ici surgit une énigme qui, de tout temps, a fortement troublé les chercheurs. Comment est-il possible que les mathématiques, qui sont issues de la pensée humaine indépendamment de toute expérience, s'appliquent si parfaitement aux objets de la réalité ? La raison humaine peut-elle donc, sans l'aide de l'expérience, par sa seule activité pensante, découvrir des propriétés des choses réelles ? 
Il me semble qu'à cela on ne peut répondre qu'une seule chose : pour autant que les propositions mathématiques se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et pour autant qu’elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité.  La prise de conscience de cet état de choses ne s'est généralisée, me semble-t-il, qu'avec le développement au sein des mathématiques du mouvement de pensée connu sous le nom d'axiomatique. L'apport de l'axiomatique a été en effet de séparer nettement les éléments logico-formels du contenu objectif ou intuitif. Pour l'axiomatique, l'objet des mathématiques est constitué par les seuls éléments logico-formels et non par le contenu intuitif, ou autre, qui leur est associé.
Examinons de ce point de vue un axiome quelconque de la géométrie, par exemple celui-ci : par deux points de l'espace passe toujours une droite et une seule. Comment interpréter cet axiome selon l'ancienne et la nouvelle conception ? 
Interprétation ancienne: tout le monde sait ce qu'est une droite et ce qu'est un point. Que cette connaissance ait sa source dans quelque faculté de l'esprit humain ou dans l'expérience, dans la conjonction des deux ou encore ailleurs, il n'est pas nécessaire au mathématicien d'en décider ; il laisse ce soin au philosophe. Fondé sur cette connaissance antérieure à toute mathématique, l'axiome en question - comme tous les autres axiomes - est évident, c'est-à-dire qu'il est l'expression d'une partie de cette connaissance a priori.
Interprétation nouvelle : la géométrie traite d'objets qui sont désignés au moyen des termes « droite », « point », etc. On ne présuppose pas une quelconque connaissance ou intuition de ces objets, mais seulement la validité d'axiomes - celui qui a été cité en est un exemple - qui doivent eux aussi être conçus de manière purement formelle, c'est-à-dire comme état dépourvus de tout contenu procédant de l'intuition ou de l'expérience. Ces axiomes sont des créations libres de l'esprit humain. Toutes les autres propositions géométriques sont des déductions logiques tirées des axiomes (entendus dans un sens purement nominaliste). Ce sont les axiomes qui définissent en premier lieu les objets dont traite la géométrie. C'est pourquoi Schlick, dans son ouvrage sur la théorie de la connaissance, désigne avec beaucoup de justesse les axiomes par le terme de « définitions implicites ». 
Cette conception des axiomes, qui est celle de l'axiomatique moderne, débarrasse la science mathématique de tous les éléments qui lui sont étrangers et dissipe ainsi l'obscurité mystique qui entourait naguère ses fondements. Mais une présentation ainsi épurée fait clairement apparaître que les mathématiques comme telles sont impropres à énoncer quoi que ce soit, ni sur les objets de nos représentations intuitives, ni sur les objets de la réalité. Par « point », « droite », etc., il ne faut entendre en géométrie axiomatique que des schèmes conceptuels vides de tout contenu. Ce qui leur donne un contenu ne relève pas des mathématiques. 
Mais il n'est pas moins sûr, d'autre part, que les mathématiques en général, et tout particulièrement la géométrie, sont nées de notre besoin d'apprendre quelque chose sur le comportement des choses réelles. En témoigne déjà le mot « géométrie » qui signifie mesure de la terre, arpentage. Car l'arpentage a trait aux diverses positions relatives que peuvent occuper les uns par rapport aux autres certains corps de la nature : des parties du corps terrestre, des cordeaux, des règles, etc. Il est clair que le système conceptuel de la géométrie axiomatique ne peut à lui seul produire aucun énoncé à propos du comportement de cette catégorie d'objets réels que nous désignerons sous l'expression de « corps pratiquement rigides ». Pour que la géométrie puisse produire de tels énoncés, il faut la dépouiller de son caractère purement logico-formel en faisant correspondre aux schèmes conceptuels vides de la géométrie axiomatique des objets de la réalité sensible. Pour y parvenir, il n'est besoin que d'ajouter la proposition suivante : 

Les corps solides se comportent, quant à leurs diverses positions possibles, comme les corps à trois dimensions de la géométrie euclidienne ; les propositions de la géométrie euclidienne contiennent alors des énoncés relatifs au comportement des corps pratiquement rigides. 

Ainsi complétée, la géométrie est manifestement la branche la plus ancienne de la physique. Ses énoncés reposent essentiellement sur l'induction opérée à partir de l'expérience, et non pas seulement sur des déductions logiques. Nous appelons la géométrie ainsi complétée la "géométrie pratique" et nous la distinguerons dans ce qui suit de la "géométrie purement axiomatique". La question de savoir si la géométrie pratique du monde est une géométrie euclidienne ou non a un sens bien clair et la réponse ne peut être fournie que par l'expérience. Toute mesure de longueur effectuée en physique est de la géométrie pratique ainsi entendue, de même que la mesure des longueurs géodésiques et astronomiques, si l'on a recours à la proposition empirique selon laquelle la lumière se propage en ligne droite - en ligne droite précisément dans le sens où l'entend la géométrie pratique. »

•	Commentaire 

Avant l’apparition des géométries non-euclidiennes, les propositions géométriques sont souvent passées pour des propositions dont la certitude était absolue, pour des modèles de perfection épistémique.  Mais après les travaux de Gauss, Riemann ou Lobatchevsky, la tentation est forte de considérer que, si l’une des géométries est vraie, alors elle doit être justifiée sur des bases empiriques et par conséquent perdre sa certitude absolue.  Dans l’extrait proposé, Einstein, qui fit jouer un rôle essentiel à la géométrie non-euclidienne dans sa théorie de la relativité générale, cherche à clarifier ce « chassé-croisé » épistémologique. Dans un premier temps, on expliquera en quoi consiste la clarification d’Einstein  ( §1) ; on ajoutera ensuite quelques commentaires sur la portée et les limites de cette clarification (§2). 

§1.

La clarification qu’Einstein propose repose en premier lieu sur une distinction entre deux façons (« pour autant que… ») d’envisager une géométrie donnée : d’une part comme une théorie « interprétée », c’est-à-dire comme une théorie qui énonce certains faits  à propos d’une  « réalité », en l’occurrence la réalité physique ; d’autre part comme un ensemble de propositions déduites d’un système d’axiomes indépendamment de toute interprétation.  On peut parler dans le premier cas de « géométrie pratique » (Einstein) ou de « géométrie physique » (Carnap), dans le second de « géométrie purement axiomatique » (Einstein) ou de « géométrie mathématique » (Carnap). 

La thèse qu’Einstein défend est que les propositions géométriques sont certaines quand on les envisage comme une géométrie purement axiomatique, mais pas quand on les envisage comme une géométrie pratique ; voyons ce que cela signifie et comment il est possible de le justifier. 

Du point de vue de la géométrie purement axiomatique, les propositions géométriques sont certaines parce qu’elles dérivent logiquement des axiomes. Mais à propos des axiomes,  la question de savoir s’ils sont vrais ou pas ne se pose pas ; on peut donc dire que les propositions géométriques ne sont pas certaines en elles-mêmes, mais qu’il est certain qu’elles dérivent d’un ensemble d’axiomes donné. Les propositions géométriques sont certaines parce qu’elles sont la conséquence logique des axiomes. 

Du point de vue de la géométrie pratique, on suppose qu’il existe une correspondance entre les concepts géométriques et certains concepts physiques, et alors les propositions géométriques affirment certaines choses de ces objets, affirmations qui peuvent être vraies ou non ; par exemple, si l’on suppose que la trajectoire des rayons lumineux dans le vide est rectiligne, alors la proposition selon laquelle la somme des angles d’un triangle égale 180 degrés affirme que si trois rayons lumineux se coupent deux à deux, la figure formée a des angles dont la somme égale 180 degrés. Une telle proposition est une généralité empirique ; même s’il se trouve qu’elle n’a jamais été infirmée, rien n’exclut, semble-t-il, qu’elle le soit un jour, et, comme telle, elle ne jouit pas de la nécessité qu’on lui attribue parfois. 

§2.

La clarification d’Einstein appelle deux commentaires, l’un sur sa portée, l’autre sur ses limites. 

En premier lieu, on peut voir cette clarification comme une attaque contre la conception kantienne de l’épistémologie de la géométrie : pour Kant,  la géométrie est à la fois certaine et informative relativement aux phénomènes. Pour les tenants de la distinction d’Einstein, une telle conception n’est pas tenable : dès lors qu’on envisage la géométrie d’une telle façon qu’elle nous donne certaines informations sur la réalité, alors elle ne jouit plus d’un statut épistémologique privilégié par rapport aux autres propositions empiriques. 

Mais il est clair que la clarification d’Einstein ne suffit pas à fournir l’esquisse d’une conception complète du statut épistémologique de la géométrie, en particulier de la « géométrie pratique ».  En effet, si l’on accepte l’idée selon laquelle les propositions géométriques interprétées ne doivent pas être considérées comme certaines, reste à savoir exactement de quel type de justification elles font l’objet. La question est délicate car, comme le montrent les arguments conventionnalistes de Reichenbach et Poincaré, l’expérience seule ne peut nous permettre de trancher entre les différentes géométries : les géométries pratiques doivent être associées à une théorie physique pour avoir des conséquences observationnelles, et il est possible d’ajuster une géométrie pratique aux observations en ajustant la théorie physique qui y est associée. 

Mikaël Cozic – PH213B – TD1 – Partie II – Cours 1 : déterminisme, prédictibilité et physique classique

1 P-S de Laplace, Essai Philosophique sur les probabilités, 1825

«Tous les événements, ceux même qui par leur petitesse semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature, en sont une suite aussi nécessaire que les révolutions du soleil. Dans l’ignorance des liens qui les unissent au système entier de l’univers, on les a fait dépendre des causes finales, ou du hasard, suivant qu’ils arrivaient ou se succédaient avec régularité, ou sans ordre apparent ; mais ces causes imaginaires ont été successivement reculées avec les bornes de nos connaissances, et disparaissent entièrement devant la saine philosophie, qui ne voit en elles que l’expression de l’ignorance où nous sommes des véritables causes. 
Les événements actuels ont avec les précédents une liaison fondée sur le principe évident, qu’une chose ne peut pas commencer d’être, sans une cause qui la produise. Cet axiome, connu sous le nom de principe de raison suffisante, s’étend aux actions mêmes que l’on juge indifférentes. La volonté libre ne peut sans un motif déterminant leur donner naissance ; car si, toutes les circonstances de deux positions étant exactement semblables, elle agissait dans l’une et s’abstenait d’agir dans l’autre, son choix serait en effet sans cause : elle serait alors, dit Leibniz, le hasard aveugle des épicuriens. L’opinion contraire est une illusion de l’esprit qui, perdant de vue les raisons fugitives du choix de la volonté dans les choses indifférentes, se persuade qu’elle est déterminée d’elle-même et sans motifs.
Nous devons donc envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son état antérieur, et comme la cause de ce qui va suivre. Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l’analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux. L’esprit humain offre, dans la perfection qu’il a su donner à l’Astronomie, une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en Mécanique et en Géométrie, jointes à celles de la pesanteur universelle l’ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances, il est parvenu à ramener à des lois générales les phénomènes observés, et à prévoir ceux que des circonstances donnés doivent faire éclore. Tous ces efforts dans la recherche de la vérité tendent à le rapprocher sans cesse de l’intelligence que nous venons de concevoir, mais dont il restera toujours infiniment éloigné.» (p. 32-3)

2 G.W. Leibniz, Principes de la nature et de la grâce, § 7

« Jusqu’ici nous n’avons parlé qu’en simples physiciens : maintenant il faut s’élever à la métaphysique, en nous servant du grand principe, peu employé communément, qui porte que rien ne se fait sans raison suffisante, c’est-à-dire que rien n’arrive, sans qu’il soit possible à celui qui connaîtrait assez les choses, de rendre une raison qui suffise pour déterminer, pourquoi il en est ainsi, et non pas autrement »

3 B. Russell , « On the notion of cause », 1912, dans Mysticism and Logic, 1917

« Un système est dit déterministe si, étant donnés certains événements e1, e2, …, en ayant lieu respectivement aux instants  t1, t2, …,tn et relatifs à ce système, si Et est l’état du système au moment quelconque t, alors il existe une relation fonctionnelle
Et = f (e1, e2, …, en ,t1, t2, …,tn, t). » (p.199)

4 K. Popper, The Open Universe, 1982

« Une théorie physique est prima facie déterministe si et seulement si elle nous permet de déduire d’une description mathématiquement exacte de l’état initial d’un système physique clos décrit dans les termes de la théorie la description de l’état du système à tout instant futur, et ce pour tout degré de précision exigé. » (p.31)

« La doctrine du déterminisme scientifique est la doctrine selon laquelle l’état de tout système physique clos, à tout instant futur, peut être prédit, même de l’intérieur du système, avec n’importe quel degré de précision, en déduisant la prédiction de théories et de conditions initiales dont le degré de précision nécessaire peut toujours être calculé (conformément au principe de responsabilité) si la tâche de prédiction est donnée » (p.36)

5 J.Earman, A Primer on Determinism, 1986

« Supposons que W soit la collection de tous les mondes physiquement possible, c’est-à-dire la collection des mondes possibles qui satisfont les lois naturelles qui valent dans le monde actuel ; alors nous pouvons définir la variété laplacienne de déterminisme comme suit. Le monde W appartenant à W est déterministe au sens laplacien si pour tout W’ appartenant à W, si W et W’ coïncident à un certain instant, alors W et W’ coïncident en tout instant. » (p.17)

6 Van Fraassen, Lois et symétrie, 1989

« Pour tout nombre réel b, pour n’importe quels instants t, t’, et pour n’importe quelles trajectoires possibles u et v, si u(t) = v(t’), alors u(t+b) = v(t’+b). » (p.380)

7 I. Ekeland, Le calcul et l’imprévu, 1984

« Curieusement, la première chose que l’on démontre en mécanique céleste, c’est que les trois lois de Kepler sont fausses ; plus exactement, elles ne sont qu’approchées. Chaque planète est calée sur son orbite képlérienne par l’attraction du Soleil, et déviée de celle-ci par l’attraction des autres, principalement de la plus grosse, Jupiter. Heureusement, ces déviations sont accessibles au calcul. Très vite, les astronomes développèrent les méthodes mathématiques nécessaires pour prévoir la position d’une planète avec une précision donnée pour une date donnée. (…)
Si ces méthodes permettent de déduire les positions futures des planètes de leur position et de leur vitesse aujourd’hui, elles permettent aussi de remonter le temps pour obtenir la situation à telle date du passé que l’on désire. En d’autres termes, le passé et le futur du système solaire sont entièrement inscrits dans son présent. (…)
Ainsi le temps se volatilise, enfermé tout entier dans l’instant présent, cet intervalle qui sépare le passé qui n’est plus de l’avenir qui n’est pas encore. Le passé et l’avenir sont équivalents, car entièrement contenus dans le présent, et l’on peut facilement remonter le cours du temps que le descendre, comme on remonte le cours d’une rivière gelée. Cet univers improbable est pourtant celui de la physique newtonienne, et les savants du XIXe siècle ont cru que, par leurs calculs, ils touchaient l’origine comme la fin du temps. » (pp. 29-30)

« …l’outil classique, parfait, achevé, c’est l’équation différentielle.  C’est le langage mathématique par lequel s’exprime le déterminisme. Si un système est régi par une équation différentielle, son évolution est entièrement inscrite dans son état présent : la connaissance parfaite de celui-ci permet de reconstituer son passé et de prédire son avenir. » (p. 33)

8 H.Poincaré, « Le hasard », dans  Science et méthode 

« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l’univers à l’instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu’approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c’est tout ce qu’il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu’il est régi par des lois ; mais il n’en est pas toujours ainsi. Il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. 
(…)
Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prévoir le temps avec quelque certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblent arriver au hasard, de telle sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la pluie ou le beau temps, alors qu’ils trouveraient ridicule de demander une éclipse par une prière ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent en général dans des régions où l’atmosphère est en équilibre instable. Les météorologistes voient bien que cet équilibre est instable, qu’un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d’état de le dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là ; et il étend ses ravages sur des contrées qu’il aurait épargnées. Si l’on avait connu ce dixième de degré, on aurait pu le savoir d’avance, mais les observations n’étaient ni assez serrées, ni assez précises, et c’est pour cela que tout semble dû à l’intervention du hasard. Ici encore, nous retrouvons le même contraste entre une cause minime, inappréciable pour l’observateur, et des effets considérables, qui sont quelquefois d’épouvantables désastres. » (pp. 68-9)